線形代数学周遊 サイドストーリー III
第4章：テンソル積をめぐって
Kベクトル空間のテンソル積の定義：
$\{e_i \ | \ i=1,\ldots,n\}$, $\{b_j \ | \ j=1,\ldots,m\}$を
基底にもつ
$K$ベクトル空間$V$と$W$に対して，
テンソル積
$V\otimes W$，またはより正確には$V\otimes_K W$を
\[
\{e_i\otimes b_j\ | \ i=1,\ldots,n, j=1,\ldots,m\}
\]
を基底にもつ$K$ベクトル空間と定義する．即ち，
\[
V\otimes W := \bigoplus_{i=1,\ldots,n} \bigoplus_{j=1,\ldots,m} K e_i\otimes b_j
\]
但し，$v \in V$, $w \in W$に対して，$v\otimes w$，
またはより正確には$v\otimes_K w$
を以下のように定義する．
1) $v_1, v_2 \in V$, $w \in W$に対して
\[
(v_1+v_2)\otimes w = v_1\otimes w+v_2\otimes w
\in V\otimes W
\]
2) $v \in V$, $w_1, w_2 \in W$に対して
\[
v\otimes (w_1 + w_2) = v\otimes w_1+v\otimes w_2
\in V\otimes W
\]
3) $c \in K$に対して，定数倍として
\[
(cv)\otimes w = c(v\otimes w) = v\otimes (cw)
\in V\otimes W.
\]
と定義しました。
Kベクトル空間のテンソル積の注意：
「Kベクトル空間のテンソル積の注意」として以下を書きました．
$V\otimes_K W$の$K$を略す記法を多くの場合使い
ますが，例えば
$ 5 \sqrt{3} \otimes_{\mathbb{R}} 2 \sqrt{2}=10\sqrt{6}\otimes_{\mathbb{R}}1$に対して，
$ 5 \sqrt{3} \otimes_{\mathbb{Q}} 2 \sqrt{2}$は
$10 \sqrt{3} \otimes_{\mathbb{Q}} \sqrt{2}$ですが，
$\sqrt{2}, \sqrt{3}\not\in{\mathbb{Q}}$より$10\sqrt{6}\otimes_{\mathbb{Q}}1$
とは一致しません．同様に$( 2- 3\sqrt{-1}) \otimes_{\mathbb{C}}( 2+ 3\sqrt{-1})
=13\otimes_{\mathbb{C}}1$
ですが${\mathbb{R}}$ベクトルとして$( 2- 3\sqrt{-1}) \otimes_{\mathbb{R}}( 2+ 3\sqrt{-1})
\neq13\otimes_{\mathbb{R}}1$です．
$( 2- 3\sqrt{-1}) \otimes_{\mathbb{R}}( 2+ 3\sqrt{-1})$は
$4 (1\otimes_{\mathbb{R}}1) + 6 (1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})$
$- 6\sqrt{-1} \otimes_{\mathbb{R}}1 -9\sqrt{-1} \otimes_{\mathbb{R}} \sqrt{-1}$
となります．
ここで$1$と$\sqrt{-1}$を基底と見ています。
Kベクトル空間のテンソル積の注意の注意：
「Kベクトル空間のテンソル積の注意」の書いた意味を更に注意として書くことにします。
１次元複素ベクトル空間のテンソル積：
${\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}$を考えましょう．
${\mathbb{C}}={\mathbb{R}}\sqrt{-1}$は複素数体です．
${\mathbb{C}}$は複素ベクトル空間として１次元です。dim${}_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}=1$
${\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}$を考えましょう．
この要素は$(x+y\sqrt{-1})\otimes_{\mathbb{C}}(x'+y'\sqrt{-1})$と書けます．
$(x+y\sqrt{-1})\in {\mathbb{C}}$ですの，定義の条件(3)より
\[
(x+y\sqrt{-1})\otimes_{\mathbb{C}}(x'+y'\sqrt{-1})
=1\otimes_{\mathbb{C}}(x+y\sqrt{-1})(x'+y'\sqrt{-1})
\]
とできます．
$(x'+y'\sqrt{-1})\in {\mathbb{C}}$と条件(3)より
\[
(x+y\sqrt{-1})\otimes_{\mathbb{C}}(x'+y'\sqrt{-1})
=(x+y\sqrt{-1})(x'+y'\sqrt{-1})(1\otimes_{\mathbb{C}}1)
\]
とも書けます．
$(x+y\sqrt{-1})(x'+y'\sqrt{-1})$は単なる複素数の積ですから、適当な$(x''+y''\sqrt{-1})$が
存在して，$(x+y\sqrt{-1})(x'+y'\sqrt{-1})=(x''+y''\sqrt{-1})$と書けます。よって、
\[
(x+y\sqrt{-1})\otimes_{\mathbb{C}}(x'+y'\sqrt{-1})=(x''+y''\sqrt{-1})(1\otimes_{\mathbb{C}}1)
\]
となるので、
これは${\mathbb{C}} (1\otimes_{\mathbb{C}}1)$
の元であることが判ります。
${\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}$は
これらの線形和で書かれるもの（張られる空間）として考えることで，
\[
{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}={\mathbb{C}}1\otimes_{\mathbb{C}}1
\]となり，
\[
dim{}_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}=1
\]
が判ります。
条件(3)のテンソル積$\otimes_{\mathbb{C}}$を係数$\mathbb{C}$がすり抜けるということが
ここでのキーポイントです。
１次元複素ベクトル空間の実数上でのテンソル積：
上記のことを${\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{R}}{\mathbb{C}}$と比較しましょう。
${\mathbb{C}}$は実ベクトル空間として２次元です。dim${}_{\mathbb{R}}{\mathbb{C}}=2$
この要素は$(x+y\sqrt{-1})\otimes_{\mathbb{R}}(x'+y'\sqrt{-1})$と書けます．
$x, y\in {\mathbb{R}}$ですが，$\sqrt{-1}\not\in {\mathbb{R}}$です。
したがって，定義の3より
$\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}1=1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1}$とはなりません。
つまり，
\[
\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}1\neq1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1}
\]
です。
他方、(1)より，
\[(x+y\sqrt{-1})\otimes_{\mathbb{R}}(x'+y'\sqrt{-1})=
x\otimes_{\mathbb{R}}(x'+y'\sqrt{-1})+y\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}(x'+y'\sqrt{-1})
\]
と書けます．
また，(2)より
\[
x\otimes_{\mathbb{R}}(x'+y'\sqrt{-1})+y\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}(x'+y'\sqrt{-1})
=x\otimes_{\mathbb{R}}x'+x\otimes_{\mathbb{R}}y'\sqrt{-1}
+y\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}x'+y\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}y'\sqrt{-1}
\]
と書けます．
他方，(3)と$x, y, x', y' \in {\mathbb{R}}$（つまり実数体の元であること、つまり実数）より，
\[
x\otimes_{\mathbb{R}}x'=xx'(1\otimes_{\mathbb{R}}1)，\qquad
x\otimes_{\mathbb{R}}y'\sqrt{-1}=xy'(1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})，
\]
\[
y\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}x'=yx'(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}1)，\qquad
$y\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}y'\sqrt{-1}=yy'(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})，
\]
となります．
これらを統合して，（代数の考え方で重要なのは、全体を一度に考えない。ステップを繰り返して
到達することです。幾何学的理解などは、一度に全てを理解することを目指しますが、それとは
対称的な操作（思想）だということです。）
\[
(x+y\sqrt{-1})\otimes_{\mathbb{R}}(x'+y'\sqrt{-1})
=xx'(1\otimes_{\mathbb{R}}1)+xy'(1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})
+yx'(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}1)+yy'(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})
\]
$(1\otimes_{\mathbb{R}}1)$，$(1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})$，
$(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}1)$，$(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})$達は、
互いに（どんなに$\mathbb{R}$倍しても）
$\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}1\neq1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1}$と同様に等号が
成立しません。（等しくありません。ベクトル空間で等しくないとは、１次独立だということです。
周遊2.3節参考のこと）
${\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{R}}{\mathbb{C}}$は
これらの線形和で書かれるもの（張られる空間）として考えることで，
\[
{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{R}}{\mathbb{C}}
={\mathbb{R}}(1\otimes_{\mathbb{R}}1)+
{\mathbb{R}}(1\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})+
{\mathbb{R}}(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}1)+
{\mathbb{R}}(\sqrt{-1}\otimes_{\mathbb{R}}\sqrt{-1})
\]
となります．
つまり
\[
dim{}_{\mathbb{R}}{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}{\mathbb{C}}=4
\]
です。
条件(3)のテンソル積$\otimes_{\mathbb{R}}$を係数$\mathbb{R}$はすり抜けられるけれど，
$\sqrt{-1}$は$\mathbb{R}$の元でないのですり抜けられないということが
ここでのキーポイントです。条件(1), (2)も必須な性質であることも重要です。
一般のベクトル空間のテンソル積：
定義の中の$e_i$や$b_j$に対して，$e_i\otimes_{K}b_j$において，
$e_i\otimes_{K}b_j=1\otimes_{K}e_ib_j=e_ib_j\otimes_{K}1$と書けないことが
テンソル積を特徴づけています．
条件(3)のテンソル積$\otimes_{K}$を係数$\mathbb{R}$ではない基底たちは
すり抜けられないのです。（周遊2.4節の例のミカンやリンゴは通り抜けれない。）
\[e_i\otimes_{K}b_j\neq 1\otimes_{K}e_ib_j, \quad e_i\otimes_{K}b_j\neq e_ib_j\otimes_{K}1
\]
ということです．
つまり，$e_i\otimes_{K}b_j$ $i=1, \ldots, n$, $j=1, \ldots, m$が$V\otimes_{K}W$内において
１次独立な元となり，
$V\otimes_{K}W$の基底を構成することなります．その線形和を考えること（生成すること）に
より，$V\otimes_{K}W$は$nm$次元となるわけです．
